Правильный вариант написания слова с буквой Ы — ПРЕДЫСТОРИЯ
Слово «предыстория» — это существительное женского рода, образованное приставочным способом от существительного «история», корень которого –истор– начинается с гласной «и».
Правило русского языка: после приставок, оканчивающихся на твёрдый согласный, гласный «и» в корне переходит в «ы».
Примеры:
- Читатель знал предысторию персонажей.
- Я должен рассказать вам небольшую предысторию этой видеозаписи.
- Здесь уместной будет краткая предыстория.
При этом важно отметить, если приставка имеет иноязычное происхождение, буква «и» в начале корня не поменялась бы на «ы». Также «и» не поменялся бы на «ы» после русских приставок меж– и сверх-.