Согласно грамматике, слово «НА ПРОТЯЖЕНИИ» пишется во всех случаях — РАЗДЕЛЬНО.
Правило русского языка:
В данном случае есть два правила, которые позволяют определить правильное написание слов.
1. Чтобы определить, как правильно пишется данное слово, нужно запомнить, что вне зависимости от того, какими частями речи оно представлено, его написание будет раздельным. Производный предлог «на протяжении» сохранит раздельное написание, так как он был образован от существительного с предлогом.
2. Существительное «протяжение» в предложном падеже с предлогом «на» пишется раздельно. Можно проверить себя подстановкой слова «всём» между ними. Если в случае с предлогом речь идёт о времени, то в случае с предлогом и существительным, будет иметься в виду расстояние.
Примеры предложений:
- Вода была тёмной, сизо-свинцовой на протяжении всей реки.
- На протяжении последних пяти месяцев ей ни разу не удалось толком выспаться.
- Лев Толстой работал над своим главным романом на протяжении двадцати семи лет жизни.
- Оля на протяжении целого года ждала ответа на своё отчаянное письмо.
- На протяжении всей дороги, нам попадались заброшенные поля.
