Мы подготовили для вас несколько докладов на тему геометрия вокруг нас. В них вы найдёте удивительные примеры и доказательства того, как геометрические фигуры прочно связаны с нашей жизнью. Геометрия стала основой архитектуры, дизайна и окружающих нас предметов.
Доклад 1
Многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. Поверхности кирпича, спичечного коробка, куска мыла состоят из шести прямоугольных граней. Конечно, грани эти шероховаты, могут иметь выбоины или трещины, но с достаточной степенью точности можно вычислить их площади по формуле площади прямоугольника: S = ab.
А опытный рабочий может так отшлифовать поверхность металлического бруска, что неровности не будут превышать нескольких тысячных долей миллиметра. Для таких поверхностей формула S = ab выполняется уже с большей точностью. Чертежный угольник имеет форму прямоугольного треугольника с той лишь разницей, что геометрический треугольник не имеет толщины, а чертежный угольник ее имеет. Дощечки паркета, плитки, которыми покрывают полы в ванных комнатах и в метро, сверху ограничены многоугольниками.
Комнаты, кирпичи, железобетонные блоки напоминают своей формой прямоугольный параллелепипед. Поэтому их объемы можно с хорошей точностью вычислять по формуле V = abc для объема прямоугольного параллелепипеда. Из одинаковых прямоугольных параллелепипедов можно сложить новое тело той же формы, но большего размера. Например, из кирпичей или железобетонных блоков складывают стены зданий. Эти стены не падают. А если бы стены стали складывать из наклонных тел, то они завалились бы. Если поставить круглый стакан на лист бумаги и обвести его дно карандашом, получится линия, похожая на окружность. Но, посмотрев на эту линию через микроскоп, увидим толстую неровную черту. В геометрии изучают лишь окружности, не имеющие толщины. Поэтому наша линия является только изображением той окружности, которую изучают в геометрии. Конечно, чем тоньше карандаш, тем больше проведенная линия будет похожа на окружность.
Многие вещи напоминают окружность – обруч, кольцо, дорожка вдоль арены цирка. Длину обруча или кольца можно вычислить по формуле l = 2∏r, где ∏ = 3,14… . Орбиты планет, то есть линии, по которым они движутся вокруг Солнца,- это чуть-чуть сплюснутые окружности. При этом Солнце немного сдвинуто от центра орбиты. Но для многих задач этим можно пренебречь и приближенно считать, что орбиты планет – окружности, центром которых является Солнце. Окружность является границей круга. Арена цирка, дно стакана или тарелки имеют форму круга (по-латыни «циркус» и означает круг). Фигура, близкая к кругу, получится, если разрезать поперек арбуз.
Со времени изобретения гончарного круга люди научились делать круглую посуду – горшки, вазы, амфоры. Круглыми были и колонны, подпиравшие здания. Среди круглых тел самым важным является шар. Расстояние всех точек поверхности шара от его центра одно и то же. На геометрический шар похожи арбуз, глобус, футбольный мяч. Поэтому, когда у футбольных болельщиков до матча спрашивают, с каким счетом он кончится, они часто отвечают: «Не знаем – мяч круглый». Из всех тел заданного объема шар имеет наименьшую площадь поверхности. Из-за этого на космическом корабле, находящемся в состоянии невесомости, пролитая вода собирается в водяной шар. Форму шара имеют и громадные сгустки материи – звезды и, в частности, Солнце. Но из-за вращения вокруг оси они немного сплюснуты. Земля тоже имеет форму немного сплюснутого шара (расстояние от центра Земли до полюса равно 6357 км, а до экватора – на 21 км больше). Но часто говорят «земной шар», пренебрегая сжатием Земли.
Поверхность шара называют сферой. Если рассечь сферу плоскостью, в сечении получится окружность. Такие окружности имеют разные радиусы: чем дальше плоскость от центра сферы, тем меньше радиус сечения. Самые большие окружности получаются при сечении сферы плоскостями, проходящими через центр. Такими большими окружностями на земной поверхности являются экватор и меридианы. А параллели – это сечения земной поверхности плоскостями, параллельными плоскости экватора.
Прямоугольный параллелепипед – это прямая четырехугольная призма, у которой основание – прямоугольник. Дом приблизительно имеет вид прямоугольного параллелепипеда, покрытого сверху треугольной призмой (такую форму придают крыше, чтобы с нее стекала дождевая вода). Набатная башня Кремля составлена из нескольких параллелепипедов, усеченной четырехугольной пирамиды и восьмиугольной пирамиды. Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими. Круглый карандаш, бревно, консервная банка имеют форму цилиндра. Цилиндрические предметы из металла или дерева вытачивают на токарном станке. На таком станке можно выточить и конус. Цветочный горшок имеет форму перевернутого конуса с отрезанной нижней частью. Такую фигуру называют усеченным конусом.
Но не только такие простые фигуры встречаются в окружающем нас мире. Сложную форму имеют и детали машин – гайки, винты, зубчатые колеса и т. д. Но поверхности таких предметов можно изучать геометрическими методами. Поэтому геометрия необходима рабочим многих специальностей, имеющим дело с обработкой дерева и металла.
Доклад 2
Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение (В.Ф. Каган)
Люди испокон веков привыкли к тому, что разнообразие геометрических фигур (линий, кругов, многогранников и т.д.) можно встретить лишь в учебниках геометрии, компьютерной графике или даже в специальной литературе. Но это не так. Многообразие геометрических примеров можно встретить и в повседневной жизни. Например, кухонный шкаф, круглое зеркало, египетская пирамида, лист бумаги и т.д. Многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. Просто мы их не всегда замечаем. Научная формулировка гласит, что геометрия – это раздел математики, который изучает пространственные фигуры и формы. Так ли это? И когда геометрия появилась в жизни людей на самом деле?
Ещё в эпоху палеолита доисторические люди изготовляли орудие из кремня. При помощи округлого камня, используя его в качестве молотка, придавали орудию форму треугольника. Отколоть кусочек кремня сравнительно просто, но придать ему нужную форму – вот нелёгкая задача. Идея симметрии знаменует большой шаг вперёд и является началом понятия пропорциональности, иными словами, ощущения того, что, если придать орудию форму, оно будет не только таким же острым, как необработанный кремень, но и более приятным на вид и удобным в обращении. Земледельцы, жившие на берегах великих рек: Нила, Тигра и Ефрата, Инда и Ганга, искусно делили свои земельные участки. Для проведения замеров были выработаны первые правила новой науки – «геометрии», что в переводе с греческого и означает – «землемерие».
Геометрические фигуры интересовали наших предков не только потому, что помогали решать практические задачи. Некоторые из фигур имели для людей магическое значение. Так, треугольник считался символом жизни, смерти и возрождения; квадрат – символом стабильности. Вселенную, бесконечность обозначали правильным пятиугольником – пентагоном, правильный шестиугольник – гексагон, являлся символом красоты и гармонии. Круг – знаком совершенства. Практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т.д. Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей – фараонов. Пирамиды – а они построены более 5 тыс. лет назад – состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что невозможно между ними протиснуть и почтовую открытку. При строительстве использовали лишь простейшие механизмы – рычаги и катки. Все стороны практически симметричны – такая точность удивляет. Состоит пирамида из 2 500 000 огромных блоков, каждый из которых весит не менее чем две тонны, самый тяжёлый блок весит 15 тонн.
Это не может не поражать и не удивлять человеческий разум. За прошедшие тысячелетия и даже столетия было задумано и построено множество шедевров архитектуры, но даже те из них, которые были намного моложе египетских пирамид, давно канули в вечность; пирамиды же, хотя и частично разрушенные, стоят до сих пор, и простоят ещё очень долго. Можно привести ещё много различных примеров архитектурных особенностей окружающих человека испокон веков. Некоторые из них сделала сама природа. Особенности их происхождения до сих не известны человеку и поражают их воображение. Это лишний раз доказывает, что геометрия в жизни людей появилась вместе с развитием мышления человека. В наши дни архитектура имеет всё более разнообразный характер. Здания разных форм и размеров. Многие из них украшаются колоннами, арками, лепнинами, столбами и другими удивительными элементами.
Дом приблизительно имеет вид прямоугольного параллелепипеда. В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы. Окружность как геометрическая фигура всегда привлекала к себе внимание художников, архитекторов. В неповторимом архитектурном облике Санкт-Петербурга восторг и удивление вызывает «чугунное кружево» – садовые ограды, перила мостов и набережных, балконные решетки и фонари. Четко просматриваемое на фоне фасада зданий летом, в изморози зимой, оно придает особое очарование городу. Особую воздушность придают воротам Таврического дворца окружности, сплетенные в орнамент. Торжественность и устремленность ввысь – такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок, представляющих дуги окружностей. Это видим на здании Главного штаба.
Так же, как и в древности современные архитекторы ломают все стереотипы об архитектуре. Например, Храм Лотоса (Дели, Индия), это огромное здание из белоснежного пентелийского мрамора в форме распускающегося цветка лотоса – одна из наиболее популярных среди туристов достопримечательностей Дели. Известен как главный храм Индийского субконтинента и главная достопримечательность города. Удивительное сооружение не имеет в своей конструкции ни единой прямой линии, только плавные изгибы! А в его естественной вентиляционной системе воплощены принципы, использовавшиеся при строительстве древних храмов. Холодный воздух поступает снизу, проходя через систему бассейнов и фундамент, нагревается внутри здания и выходит через отверстие в куполе. Температура внутри храма благодаря этому всегда вполне комфортная, хотя и прохладная. Ещё одно, не менее удивительное архитектурное сооружение, это «Кривой дом» (Сопот, Польша). «Кривой дом» действительно является кривым и на фасаде не содержит ни единого ровного места и угла. Двери, перила, окна так же изогнуты. Создается впечатление, что он то ли расплавился на солнце, то ли это оптическая иллюзия, и это не сам дом, а лишь его отражение в огромном кривом зеркале. За основу идеи взяты старинные сказочные мотивы и принципы современного деконструктивизма. Кроме того, дом должен был не только вписываться в городской пейзаж, но и иметь достаточную площадь для торговых отделов.
Чаще всего именно в быту можно увидеть геометрические фигуры. В каждой квартире встречается что-то квадратное, круглое, овальное, цилиндрическое, прямоугольное и так далее. Обручальное кольцо, зеркало, тарелки, кружки, цветочный горшок имеют форму круга или овала. Микроволновая печь, кирпичи, шкаф, железобетонные блоки, напоминают своей формой прямоугольный параллелепипед. В ремонте так же используются геометрические особенности. Например, для того, чтобы купить обои, нужно знать и рассчитать площадь стен комнаты. Это помогает избежать переплаты за не нужные рулоны, которые так и не понадобятся. Несколько столетий назад человек придумал гончарный круг, чтобы было удобнее и быстрее слепить из глины круглую посуду – горшки, вазы. На геометрическую фигуру сферу похожи капуста, баскетбольный, волейбольный и футбольный мяч. Поэтому, когда у футбольных болельщиков до матча спрашивают, с каким счетом он кончится, они часто отвечают: «Не знаем – мяч круглый».
Уже можно понять, что руками человека создано не мало геометрических конструкций, но и природа не уступает. Если вы когда-нибудь наблюдали за снежинками, то замечали, что у них разные формы. Считается, что в одном кубическом метре снега находится около 350 млн. снежинок! Все они шестиугольные и имеют кристаллоподобные структуры, но у каждой своя уникальная форма. В Германии немецкий математик и астроном Йоган Кеплер обратил внимание на шестерную симметрию снежинок. Он попытался объяснить её тем, что кристаллы построены из мельчайших одинаковых шариков, теснейшим образом присоединенных друг к другу.
Таким образом, геометрия в нашей жизни встречается абсолютно везде и во всём, играет не малую роль, и до сих пор открывает для нас новые перспективы. Она является неотъемлемой частью жизни всего на земле. Ежедневно множество разнообразных геометрических линий и поверхностей использует человек в своей деятельности, и пользуясь геометрическими данными и вычислениями, с наибольшей точностью решает разнообразные технические задачи.
