Правильные и полуправильные многогранники — реферат

Мы подготовили для Вас несколько рефератов на тему «Правильные и полуправильные многогранники». Используйте данный материал для написания своего доклада на урок математики и геометрии.

Реферат 1

Введение

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с изучением формы, размеров и взаимного расположения пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул, и строители, рассчитывающие постройку или разрушение зданий, и малыш в детском саду, строящий пирамидку из кубиков. Таким образом устроен окружающий нас мир, что ни один человек в своей жизни не обойдется без пространственного представления предметов.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники и сложностью своих форм, как полуправильные многогранники. Они открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.

Основные понятия

Стереометрия — часть геометрии, в которой изучаются фигуры в пространстве. Стереометрия включает изучение плоскостей, объемных геометрических тел, их всевозможных сечений и комбинаций, а также измерение объемов и площадей тел.

Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью.

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер. Кроме того правильный многогранник — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Тела Платона

Тела Платона — это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников: Тетраэдр, Гексаэдр, Октаэдр, Додекаэдр, Икосаэдр.

История названия правильных многогранников

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников.

Итак, тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого «тетра» — четыре, «эдрон» — грань.

Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, «гекса» – шесть.
Октаэдр — восьмигранник, «окто» – восемь.
Додекаэдр — двенадцатигранник, «додека» — двенадцать;
Икосаэдр имеет 20 граней, «икоси» — двадцать.

Полуправильные многогранники

Наряду с правильными многогранниками существуют еще многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным – их называют полуправильными многогранниками. В полуправильных многогранниках равны одноименные многоугольники; причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней; в одинаковом порядке каждый из этих многогранников может быть вписан в сферу.

Конечно, возникает вопрос: сколько всего существует полуправильных многогранников? Более двух тысяч лет думали, что только тринадцать (их называют телами Архимеда, т.к. именно ему принадлежит их открытие), не считая двух бесконечных серий, составленных из призм и антипризм.

Но в настоящее время находят все новые и новые полуправильные многогранники. Так математик В.Г. Ашкинузе нашел еще один полуправильный многогранник. Если в многограннике ромбокубооктаэдр верхнюю «восьмиугольную чашу» повернуть на 45º, то получим многогранник, который «не совсем архимедово» тело: он не обладает некоторыми свойствами, которыми обладают тела Архимеда, но зато у него есть свои свойства. Кроме этого, можно еще представить полуправильные многогранники.

Тела Архимеда

Многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани -правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Первую группу составляют пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения.

Вторую группу составляют два тела, называемых квазиправильными многогранниками. Это название означает, что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются: кубооктаэдр и и косододекаэдр

Тела Кеплера-Пуансо

Два тетраэдра, прошедших один сквозь другой, образуют восьмигранник. Иоганн Кеплер присвоил этой фигуре имя «стелла октангула» -«восьмиугольная звезда».Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл. Такие тела получаются «озвездыванием» Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются звездчатыми. Куб и тетраэдр не порождают новых фигур — грани их, сколько ни продолжай, не пересекаются.Эти многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времѐн.

Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большойзвездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Тела Федорова

Федоров Евграф Степанович (22.12.1853 –21.05.1919) — русский кристаллограф, один из основоположников структурной кристаллографии и минерологи, геометр, петрограф и геолог, стал основоположником теории строения кристаллов. Его тела это выпуклые многогранники (параллелоэдры), параллельными переносами которых можно заполнить пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой (т.е. являются параллелоэдрами).Существует 5 типов Федоровых тел, найденных им в 1881г.

Каталановы тела

Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие пространственной симметрии.

Реферат 2

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из
вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер. Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это – очень мало: для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников – бесконечно много.

Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). По-гречески «хедрон» означает грань, «тетра», «гекса» и т. д. – указанные числа граней. Нетрудно догадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра – правильные треугольники, куба — квадраты, додекаэдра – правильные пятиугольники. Если обозначить количество углов у одной грани правильного многогранника за q, а количество граней, сходящихся в одной вершине – за p, можно получить точные характеристики каждого правильного многогранника. Вот они (первое число – q, второе – p): (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3). При этом у куба и октаэдра, а также у икосаэдра и додекаэдра, числа p и q оказываются как бы переставленными. Эти многогранники называют двойственными.

Тетраэдр считается двойственным сам себе. У двойственных многогранников количество ребер одинаковое. Правильные многогранники симметричны. Это означает, что для любого произвольно выбранного ребра AB и примыкающей к нему грани F можно так повернуть многогранник, что ребро AB перейдет в любой отличное от него ребро CD, точка A – в любой его конец (C или D), а грань F совпадет с одной из двух примыкающих к нему граней. Таких возможных поворотов – самосовмещений всего существует 4P, где P – число ребер

многогранника. При этом половина из них – повороты вокруг воображаемых осей, соединяющих центр многогранника с его вершинами, серединами ребер и граней на углы, кратные соответственно 2p / q, p и 2p / p, а другая половина – симметрии относительно плоскостей и «зеркальные повороты». Указанное «свойство максимальной симметричности» иногда принимают за определение правильного многогранника. Но человеку, далекому от математики, трудно представить себе геометрическое тело с таким определением. Иоганн Кеплер называл куб «родителем» всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников. Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра, а вершины октаэдра – это центры граней куба.

Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани – правильные треугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое. Для того, чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок длиной x (пока что это – любая длина) так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях.

Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезков между собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и при каждой вершине их пять. Найдем такое число x, при котором все ребра этого многогранника равны, т. е. он правильный. Т.к. куб симметричен, то все ребра, не принадлежащие граням куба равны между собой. Примем длину ребра куба за a. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 2), где AC = a – x,
BC2 = CD2 + BD2 = 1/4 a2 + 1/4 x2. По теореме Пифагора получаем: AB2 = AC2 + CB2 = ( x2 + a2 + (a – x)2 ) / 4. Приравнивая AB к x, получаем квадратное уравнение: x2 + a x – a2 = 0, откуда x = a (Ö 5 – 1) / 2. Интересно, что полученный множитель при a, т. е. отношение ребра куба к ребру вписанного в него икосаэдра – не что иное, как золотое сечение. Теперь докажем равенство двугранных углов.

Рассмотрим 5 ребер, выходящих из точки A. Концы их всех равноудалены и от точки A, и от центра куба O. Отсюда следует, что они лежат на пересечении двух сфер с центрами A и O, а значит – на окружности, причем ребра, соединяющие их с точкой A, равны. Значит, эти пять точек и точка a – вершины правильной пирамиды, а ее двугранные углы при вершине равны. Додекаэдр из икосаэдра можно получить так же, как и октаэдр из куба.

Соединяя середины смежных граней икосаэдра, мы получаем правильнгый пятиугольни. Всего таких пятиугольников будет 12. Двугранные углы многоугольника будут равны, так как трехгранные углы при его вершинах имеют равные плоские углы. Правильные многогранники также называют платоновыми телами, хотя они были известны еще за несколько веков до Платона. В одном из своих диалогов Платон связал правильные многоугольники с четырьмя стихиями. Тетраэдру соответствовал огонь, кубу – земля, октаэдру – воздух, икосаэдру – вода. Додекаэдру соответствовала пятая стихия – эфир. Так называемые полуправильные многогранники связывают с именем Архимеда. Это 13 тел, полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных ряда правильных призм и антипризм с равными ребрами. В эпоху Возрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связать правильные многогранники со строением Вселенной.

С большей или меньшей точностью он разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую. Но имя Кеплера в геометрии прославило открытие двух из четырех правильных звездных тел. Два других в 1809 г. нашел француз Луи Пуансо.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Загрузка ...
Obrazovanie365.RU
Adblock
detector